합동이 무엇일까요? 단순히 ‘서로 같은 것’ 정도로 이해하고 계신가요? 수학 합동과 대칭 단원에서 소개하고 있는 매우 간단한 개념이지만, 짚고 넘어가야 할 몇 가지 포인트가 있습니다. 이번 시간에는 합동의 뜻과 성질에 어떤 것들이 있는지, 필요한 어휘들을 정리하고 문제를 풀어보는 시간을 가져보겠습니다.

합동의 뜻과 성질

합동의 뜻

합동 (合同 합할 합 + 한가지 동)

모양과 크기가 같아서 포개었을 때 완전히 겹치는 두 도형을 서로 합동이라고 합니다.

이 개념을 생각할 때는 2가지를 고려하면 이해가 쉽습니다.

1. 모양 2. 크기

두 도형에서 위의 2가지가 같으면 합동입니다. 완전히 같은 모양이어야 하고, 크기가 같아야 합니다.

조금 더 직관적인 이해를 위해서는, ‘돌리거나 뒤집어서 완전히 겹치는 두 도형은 서로 합동이다.’ 라는 정의를 생각할 수 있습니다. 시계 방향으로 90도 돌리기, 시계 반대 방향으로 180도 돌리기, 위아래 혹은 옆으로 뒤집기 등을 통해 완전히 포개어진다면 그 역시 합동입니다. 이것은 표현 방법만 다르고 처음 소개한 문장과 의미는 같습니다.

위의 두 도형은 위나 아래로 뒤집으면 완전히 포개어지는 서로 합동인 삼각형입니다. 모양과 크기가 완전히 일치하죠.

합동의 성질

합동의 성질에서 알아야 할 개념은 3가지입니다.

대응점: 서로 합동인 두 도형을 포개었을 때 완전히 겹치는 점

대응변: 서로 합동인 두 도형을 포개었을 때 완전히 겹치는 변

대응각: 서로 합동인 두 도형을 포개었을 때 완전히 겹치는 각

점, 변, 각의 뜻만 안다면 두 도형에서 각각에 대응한다는 뜻이므로 이해가 쉽습니다. 위 사진에서 두 삼각형은 옆으로 뒤집으면 완전히 겹치게 되는 서로 합동인 도형입니다.

A는 A’와 완전히 겹치게 되므로 점 A의 대응점은 점 A’입니다. 마찬가지로 점 B의 대응점은 점 B’, 점 C는 점 C’가 대응점입니다.

변 AB의 대응변은 변 A’B’, 변 BC의 대응변은 변 B’C’, 변 CA의 대응변은 변 C’A’입니다.

각 ABC의 대응각은 각 A’B’C’, 각 BCA의 대응각은 각 B’C’A’, 각 CAB의 대응각은 각 C’A’B’입니다.

합동 활용 문제

합동의 성질을 활용한 문제로 다음과 같은 유형이 자주 출제됩니다.

문제) 두 사각형은 서로 합동이다. A, B, C의 값을 구하세요.

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정답 및 해설)

대응점, 대응변, 대응각의 개념을 알아야 풀 수 있는 문제입니다. 각 점, 변, 각이 옆 도형의 어디에 대응하는 지를 안다면, 쉽게 해결할 수 있습니다.

먼저 A에 해당하는 각 ㅁㅂㅇ은 왼쪽 도형에서 각 ㄱㄷㄹ와 대응합니다. 따라서 A는 60°입니다.

B를 풀기 위해서는 한 가지 개념을 활용해야 합니다. 바로 ‘사각형 네 각의 크기의 합은 항상 360°이다.’인데요. 나머지 세 각의 크기가 30°, 60°, 120°임을 알았으니, 360 – 30 – 60 – 120 = 150. 즉 남은 한 각인 B의 크기는 150°임을 알 수 있습니다.

C의 길이는, 왼쪽 도형의 변 ㄱㄴ과 대응변이므로 같은 길이인 7cm입니다.

A: 60° B: 150° C: 7cm

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오늘은 도형의 합동이 어떤 것인지, 또 합동의 성질과 관련하여 대응점, 대응변, 대응각에 대해 알아보았습니다. 다음 글에는 이어서 선대칭도형과 점대칭도형을 소개하겠습니다.