데칼코마니가 무슨 말인지 아시나요? 도화지 절반에 물감을 칠해놓고 접으면 양 쪽이 대칭을 이루는 문양이 나타납니다. 미술 작품으로써 한 번쯤 만들어보거나 본 적이 있으실 겁니다. 이 개념이 수학에 있어서는 선대칭도형인데요. 직관적으로 이해하기 쉬운 선대칭도형과, 비교적 조금 더 이해가 필요한 점대칭도형에 대해 공부해보겠습니다.
선대칭도형과 점대칭도형
선대칭도형
한 직선을 따라 접었을 때 완전히 겹치는 도형을 선대칭도형이라고 합니다.
이 때 그 직선을 대칭축이라고 부릅니다.
대칭축을 따라 접었을 때 겹치는 점을 대응점, 겹치는 변을 대응변, 겹치는 각을 대응각이라 합니다.
대칭축을 기준으로 도형을 반으로 나누었을 때, 두 도형은 서로 합동입니다. 대칭축의 양 옆이 한 번 뒤집기하면 완전히 겹쳐지는 모양이죠. 또는 종이접기를 떠올렸을 때 접는 선, 즉 대칭축을 기준으로 접으면 완전히 겹쳐집니다. 그 때 맞닿는 점, 변, 각을 대응점, 대응변, 대응각이라고 정의할 수 있습니다.
대칭축의 개수
선대칭도형에서 대칭축의 개수는 어떻게 알 수 있을까요? 밑의 보기의 도형들의 대칭축의 개수를 직접 그리고 세어보세요.
대부분의 각이 많지 않은 평면 도형에서 대칭축의 개수는 0개~4개로 결정지어집니다. 그러나 예외인 경우도 있습니다. 위 그림에 대칭축을 그려보겠습니다.
다음과 같이 그어볼 수 있습니다. 그림과 같이 직사각형은 2개, 이등변삼각형은 2개, 정사각형은 4개, 원은 셀 수 없이 많이 그릴 수 있습니다. 여기서 눈여겨볼 만한 부분은, 직사각형을 대각선으로 접어도 겹쳐지지 않기 때문에 가로 세로의 길이가 다른 직사각형의 대각선은 대칭축이 될 수 없다는 것과, 정사각형은 대칭축이 4개라는 점입니다. 또 원에서는 원의 중심을 지나는 선분이라면 모두 대칭축이 될 수 있기 때문에, 대칭축은 셀 수 없이 많다는 점 꼭 기억해야겠습니다. 추가적으로 타원의 경우는 대칭축이 직사각형과 같은 원리로 2개가 됩니다.
선대칭도형의 성질
선대칭인 도형은 대칭축을 기준으로 뒤집었을 때 완전히 겹치기 때문에, 서로 합동인 도형에서 볼 수 있었던 성질이 동일하게 나타납니다. 바로 대응점, 대응변, 대응각인데요. 아래 그림과 같이 대응하는 점, 변, 각은 모두 그 수치가 같습니다.
점대칭도형
한 도형을 어떤 점을 중심으로 180° 돌렸을 때 처음 도형과 완전히 겹치면 이 도형을 점대칭도형이라고 합니다. 이때 그 점을 대칭의 중심이라고 합니다. 대칭의 중심을 중심으로 180° 돌렸을 때 겹치는 점을 대응점, 겹치는 변을 대응변, 겹치는 각을 대응각이라고 합니다. 새로 배우는 개념으로 대칭의 중심이 있는데, 대응점끼리 이은 선분이 만나는 점을 의미합니다.
모든 도형은 360° 회전하였을 때 원래의 모양과 같게 됩니다. 180°만 회전하였을 때는 시계 방향으로 돌리든 반시계 방향으로 돌리든, 물구나무 서기를 한 상태에서 보는 시야로 보입니다. 그렇게 봤을 때 원래의 모양과 같은 도형이라고 이해하셔도 좋습니다.
점대칭도형의 성질
전에 배웠던 합동, 선대칭도형과 마찬가지로 대응점, 대응변, 대응각의 개념이 있습니다. 이 부분에 대해서는맥락적으로 같은 의미이므로 설명은 생략하겠습니다. 대칭의 중심은 선대칭도형에서의 대칭축에 대응하는 말로, 의미는 조금 다릅니다. 즉 전자에서는 대칭축, 즉 선분을 기준으로 두 부분을 접으면 합동이 됩니다. 반면 후자에서는 선분이 아닌 점이 기준점이 됩니다.
대응점을 이은 선분은 대칭의 중심을 통해 정확히 둘로 나누어집니다. 따라서 점대칭도형을 그릴 때 절반이 그려져 있다면, 남은 부분을 그리는 과정은 선대칭과 유사점이 있습니다. 위의 그림을 참고하면서 점대칭을 완성하는 단계를 따라해 보세요.
- 한 점에서 대칭의 중심까지 선을 그어줍니다.
- 같은 방향과 길이만큼 더 간 곳에 대응점을 찍어줍니다.
- 모든 대응점을 그린 후 점끼리 이어주면 점대칭도형이 완성됩니다.
보통 모눈종이에 그림을 그리게 되는데, 상하좌우의 칸 수를 정확하게 세서 점을 먼저 찍은 다음 선분을 그어주는 것이 정확하게 도형을 완성하기 좋습니다.
선대칭도형 점대칭도형 문제
1) 변ㄱㄴ을 대칭축으로 하는 선대칭도형을 완성시켜보세요.
2) 다음 점대칭도형에서 A, B의 값을 구하세요.
정답 및 해설)
1)
1번 문제의 정답은 왼쪽 그림과 같습니다. 대칭축을 기준으로 좌우를 거울처럼 대칭시켜 그려주면 됩니다. 이 때 그림을 정확하게 그리기 위한 방법이 있는데요. 오른쪽 그림을 참조하여 다음과 같은 순서를 따라주세요.
- 대칭축에서 왼쪽 점들이 몇 칸씩 떨어져 있는지 센다.
- 반대쪽 공간에 같은 칸 수 만큼 대응점을 찍어준다.
- 찍어준 점들을 이어 선대칭도형을 완성시킨다.
2) A: 19 B: 35°
점대칭도형의 성질을 안다면 매우 간단한 문제입니다. A, 즉 변AB의 길이는 대응변인 변ㄹㄷ과 같습니다. 따라서 19입니다. 각ㄴㄱㄹ를 의미하는 B를 구하기 위해서는 약간의 추가적인 지식이 필요합니다.
- 대응각의 크기는 서로 같다.
- 사각형 내각의 합은 360°이다.
각ㄱㄴㄷ의 크기가 145°이므로 대응각인 각ㄱㄹㄷ의 크기도 145°입니다. 사각형 내각의 합은 360°이므로 앞의 두 각의 크기를 빼면 360 – 145 – 145= 70, 즉 남은 두 각의 크기의 합은 70°임을 알 수 있습니다. 그런데 남은 두 각도 서로 대응각의 관계기 때문에, B의 크기는 70 ÷ 2 = 35임을 구할 수 있습니다.
지난 시간에 배웠던 합동과 유사한 부분이 많았습니다. 합동의 개념을 바탕으로 대칭 도형을 받아들이되, 새로 나온 개념인 대칭축, 선대칭, 점대칭이 무엇인지 정확한 정의를 통한 이해가 필요하겠습니다.