수의 범위를 나타내는 것은 수학적인 개념에서 매우 중요하며, 올림, 버림, 반올림 등의 어림하기가 후속 학습으로 계열성을 가집니다. 수학에서 범위를 표현하는 방법으로 4가지 단어를 사용할 수 있습니다. ‘이상, 이하, 초과, 미만’이 그것입니다.

처음 이를 접할 때 각 개념이 혼동되고 헷갈리기 쉽습니다. 이를 쉽게 이해하고 익숙해지기 위해 2가지 방법으로 범주화할 수 있습니다. 밑에서는 두 가지 방법으로 무리 지어서 이해해보고, 수직선으로 나타내는 방법을 알아보겠습니다. 또 몇 가지 예시 문제들을 풀어보며 이해와 적용에 도움을 주고자 합니다.

수의 범위 표현 방법

범위 표현 용어 4가지

이상: ★보다 같거나 큰 수

이하: ★보다 같거나 작은 수

초과: ★보다 큰 수

미만: ★보다 작은 수

기준값: 기준이 되는 수. 이 글에서는 ★로 표시

범주화하여 이해하기

‘이상 + 초과 / 이하 + 미만’ 분류하기

첫 번째는 이상과 초과를 묶고 이하와 미만을 묶어 분류하는 방법입니다. 이 방법에서의 분류 기준은 ‘★보다 큰 가 작은가’입니다. 이상과 초과는 모두 ★보다 큰 영역을 의미합니다. 둘의 차이점은 기준량인 ★까지 포함하면 이상, ★을 제외한 ★보다 큰 값은 초과입니다.

마찬가지로 ★을 포함하면서 작은 영역은 이하, ★을 제외한 ★보다 작은 것은 미만입니다. 예를 들어 1, 2, 3, 5.5, 8 등은 모두 10 이하이면서 10 미만인 수입니다. 또 15, 18, 5000 등은 모두 10 이상이면서 10 초과인 수라고 말할 수 있습니다.

‘이상 + 이하 / 초과 + 미만’ 분류하기

두 번째 방법은 이상과 이하를 묶고 초과와 미만을 묶는 식입니다. 이 때의 분류 기준은 ‘★의 포함 여부’입니다. 이상과 이하는 기준량인 ★를 포함한 범위를 나타내며 초과와 미만은 ★를 제외한 영역을 의미합니다. 예를 들어 7이라는 숫자는 ‘7 이하인 수’에 속하면서 동시에 ‘7 이상인 수’에도 속합니다. 반면 7 초과인 수, 7 미만인 수에 둘 다 7은 포함되지 않습니다.

위 두 가지 기준의 교집합을 찾아보면 이 용어들의 정확한 정의를 이해할 수 있습니다. 기준량 ★과 비교하여 큰 수, 작은 수를 알고 경계가 되는 지점에서 ★의 포함 여부를 동시에 안다면 네 개념을 혼동하지 않고 말할 수 있습니다.

수의 범위 수직선으로 나타내기

직선을 이루는 각각의 점에 실수를 대응시켜 놓은 것을 수직선이라고 합니다. 수직선은 1차원인 직선에 음과 양의 값만을 가지며 수의 크기를 비교하기 좋은 도구입니다. 이 수직선에 이상, 이하, 초과, 미만을 사용하여 수의 범위를 나타낼 수 있습니다.

이상: 기준값에 색칠한 원을 그리고 오른쪽 모든 범위에 선

이하: 기준값에 색칠한 원을 그리고 왼쪽 모든 범위에 선

초과: 기준값에 색칠하지 않은 원을 그리고 오른쪽 모든 범위에 선

미만: 기준값에 색칠하지 않은 원을 그리고 왼쪽 모든 범위에 선

이것과 같이 닫혀있는 상황의 수의 범위를 표현할 수도 있습니다. ‘몇 이상 몇 이하’, ‘몇 초과 몇 미만’과 같이 숫자의 범위가 시작되는 지점과 끝나는 지점을 동시에 말하면 그 사이에 있는 모든 수를 나타내게 됩니다. 이 때 기준점이 되는 수를 포함하는지 하지 않는지 꼭 체크해줘야 합니다. 가령 위의 예시에 나온 1 이상 7 미만인 수는, ‘1보다 크거나 같고 7보다는 작은 수’를 의미합니다. 즉 1은 포함하면서 7은 포함하지 않는, 그 사이의 모든 수를 말합니다.

예시 문제

ㄱ. 3 이상 6 이하의 자연수를 모두 쓰시오.

ㄴ. 2 초과 7 미만의 자연수를 모두 쓰시오.

ㄷ. 5 이상 9 미만의 자연수를 모두 쓰시오.

ㄹ. 12 초과 23 이하의 자연수 중 홀수를 모두 쓰시오.

ㅁ. 2 이상 14 미만의 자연수 중 짝수의 개수는?

ㅂ. 수직선 위에 -2 이상 4 미만을 표현하시오.

예시 문제 정답

ㄱ. 3, 4, 5, 6

ㄴ. 3, 4, 5, 6

ㄷ. 5, 6, 7, 8

ㄹ. 13, 15, 17, 19, 21, 23

ㅁ. 6개

ㅂ.